Vue no incorpora un servicio cliente-HTTP como si disponen otros frameworks como Angular, por tanto es necesario instalar alguna librería en el proyecto que permita realizar peticiones HTTP. Axios es un cliente HTTP muy popular y comúnmente utilizado por otros frameworks que ofrece un servicio HTTP manejando promesas de JavaScript.

Instalar Axios

npm install --save axios

Para trabajar con Axios tan solo es necesario importar la librería desde el componente donde se desea trabajar y mediante los distintos verbos realizar las peticiones a la API.

import axios from 'axios';

A continuación se muestra un ejemplo de un método que utiliza la librería axios para procesar una petición de tipo GET con una promesa que obtiene la respuesta y la muestra por consola.

...
methods:{
    getUsers(){
        axios.get("http://bahiaxip.com/api/users").then( response => {
            console.log(res);
        }
    }
}
...

Petición tipo POST

...
data(){
    user: new User("xip","bahiaxip@hotmail.com","2020","1234")
}
methods:{
    save(){
      axios.post("http://bahiaxip.com/api/save",this.user).then(response=> {
        if(res.data.status === 'success){
          alert("El usuario se ha creado correctamente);
        }else{
          alert("Hubo un error y el usuario no ha sido creado"); 
        }
      }
    } 
}
...